Get Adobe Flash player

Пирамида Пифагора.

1. «Русский» способ умножения.

Каждый современный школьник знает таблицу умножения цифр от 1 до 9 наизусть. В наше время этому обучают уже в начальной школе. В старинной «Арифметике» Магницкого необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких стихах:

Аще кто не твердит таблицы и гордит,

Не может познати числом что множати

И во всей науки, несвобод от муки,

Колико не учит туне ся удручит

И в пользу не будет аще  ю забудет.

Известный российский математик Я.И.Перельман в своей книге «Занимательная математика» написал, что автор этого стихотворения, очевидно, не знал или упустил из виду, что существует способ перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способ этот, непохожий на наши школьные приемы, использовался великорусскими крестьянами и унаследован ими от предков. Сущность его в том, что умножение двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. « Например: нужно умножить 32 на 13. Это записывается таким образом:

 

32 ∙13

16 ∙ 26

8  ∙ 52

4 ∙ 104

2 ∙ 208

1 ∙ 416

 

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. Способ основан на том, что произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. А в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение: 32 ∙ 13= 1 ∙ 416.

Как поступить, если приходится делить  нечетное число пополам? Народный способ легко выходит из этого затруднения. В этом случае от нечетного числа откидывается единица и остаток уже делится пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с четными левыми числами зачеркивают; остаются только те, которые содержат налево нечетное число. Пример: 19 ∙ 17 (звездочки указывают, что данную строку нужно зачеркнуть).

 

19 ∙ 17

9 ∙ 34

4 ∙  68  *

2 ∙ 136 *

1  ∙ 272

 

Сложив не зачеркнутые числа, получаем вполне правильный результат:

17+ 34+ 272=323.

Обоснованность приема станет ясна, если принять во внимание, что

19 ∙ 17=(18 + 1) ∙ 17= 18 ∙ 17 + 17

9∙ 34= (8 + 1) ∙ 34=8 ∙ 34 + 34, и так далее.

Ясно, что числа 17, 34 и т.п., утрачиваемые при делении нечетного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение».[1]

 

 

2. Папирусы Египта и математика.

По мнению Я.И. Перельмана, не исключено, что  только что описанный способ дошел до нас из Египта. О развитии математики в Древнем Египте не так много известно. Египтяне пользовались двумя системами письма: иероглифической и иератической.

Именно иератическая система (условные знаки, которые произошли из иероглифов в результате упрощений и стилизации) использовались в папирусах, которые являются основным источником сведений о древнеегипетской математике. Папирус Ринда – крупнейший из них. Он относится примерно к 2000- 1700 г.д.н.э. и представляет собой копию еще более древней рукописи, переписанную Ахмесом, писцом, в честь которого ее иногда называют и Папирусом Ахмеса. « Писец Ахмес, найдя «ученическую тетрадь» из прошлого, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера,- вместе с их ошибками и исправлениями учителя, и дал своему списку торжественное название, дошедшее до нас в неполном виде:

«Наставление, как достигнуть знания всех темных вещей…всех тайн, сокрытых в вещах. Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времен царя Ра-ен-мата писцом Ахмесом».»[2]

Шотландский антиквар Александр Генри Ринд купил в 1858 году в Луксоре древний папирус, который сейчас хранится в Британском музее под названием Папируса Ринда. Папирус был найден в металлическом футляре. В развернутом виде имеет 5.5 м длины при 32 см ширины. Он представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер; эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя принимается равной площади квадрата со стороной в 8/9 диаметра), объема прямоугольного параллелепипеда и цилиндра.

Имеются также арифметические задачи на пропорциональное деление, определение соотношений между количеством зерна и получающегося из него хлеба или пива и т.д. Решение одной задачи (№ 79) приводится к вычислению суммы геометрической прогрессии. Но для решения этих задач не дается никаких общих правил, не говоря уже о попытках каких-нибудь теоретических обобщений. Папирус Ринда был издан в 1923 году в Лондоне, а затем и в Америке.

Вторым по значимости стоит папирус Голенищева, хранящийся в Москве, в Пушкинском музее. Он изучался русскими египтологами Б.А.Тураевым и В.В.Струве; полностью издан на немецком языке в 1930 году. В нем собраны решения 25 задач примерно такого же типа, как и в папирусе Ринда. Особо интересны задачи №10 и №14. В 10-й задаче вычисляется боковая поверхность корзины, то есть полуцилиндра, высота которого равна диаметру (или, возможно, поверхность полушария), что является первым в математической литературе примером определения площади кривой поверхности. Решение 14-й задачи основано на точной формуле объема усеченной пирамиды с квадратным основанием.

Существует и так называемый Кожаный свиток, изучение которого помогло пролить свет на древнеегипетскую арифметику.

« В Папирусе Ринда описаны четыре примера умножения, выполненные по способу, живо напоминающему наш народный русский способ. Вот эти примеры (точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + отмечены числа, подлежащие сложению):

 

(8 ∙  8)                       (9 ∙  9)                       (7 ∙  2801)

∙     8                          ∙    9 +                        ∙   2801 +

∙  ∙   16                       ∙  ∙  18                        ∙  ∙   5602 +

∙  ∙  ∙  ∙   32                 ∙  ∙  ∙  ∙   36                ∙  ∙   ∙  ∙  11204 +

:  :  :  :   64                 :  :  :  :  72 +

Итог ∙  ∙  19607

Из этих примеров видно, египтяне пользовались приемом умножения, довольно сходным с «нашим крестьянским». Если бы египтянину предложили перемножить числа 19 и 17, то он произвел бы действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17,

 

1             17 +

2             34 +

4             68

8            136

16           272 +

 

и затем сложил бы те числа, отмеченные знаком  +, то есть: 17+34+272. Он получил   бы, конечно, правильный результат: 17+(2 ∙ 17)+(16 ∙ 17)=19 ∙ 17. Видно, что   подобный прием по существу весьма близок к нашему «народному» - замена умножения рядом последовательных удвоений.

Я.И.Перельман утверждает, что не только у русских крестьян был в ходу такой древний способ умножения; английские авторы называют его именно «русским крестьянским способом». В Германии крестьяне пользуются им, но также называют его «русским» (нужно учитывать, что книга была написана Перельманом в 1934 году, поэтому делается такой акцент на крестьянство).»[3]

Почти все исследователи Древнего Египта сходятся во мнении, что «наука» египтян носила чисто прикладной характер. Б.Л.ван дер Варден писал по этому поводу следующее: «Геометрические задачи известных нам текстов, насколько мы можем себе представить, были все поставлены практикой. Пока еще не было нужды в доказательствах или построениях, но нужно было вычислить площадь земельного участка, величину уклона или объем зернового амбара».[4]

Примерно о том же пишут и А.Даан - Дальмедико и Ж..Пейффер в книге «Пути и лабиринты»: «Египетская геометрия была практической. Ее законы не столько изучались, сколько устанавливались и принимались, как должное… египтянам были знакомы элементарные свойства фигур и зачатки теории пропорции». Далее авторы продолжают, что египтяне умели находить объемы куба, призмы и цилиндра: они умели умножать площадь основания s на высоту h.

Также египтянам удалось вычислить объем пирамиды и усеченной пирамиды с квадратными основаниями, правда, до сих пор неизвестно, как они этого достигли. Мнение этих авторов относительно алгебры египтян такое: «Египетская алгебра была проста и не представляет особого интереса для изучения. Большинство задач было связано с повседневной жизнью: распределение скота, зерна или хлеба. Чаще всего они решались только использованием арифметики или простыми линейными уравнениями: х +ах = в или х + ах + сх = в или ах² = в.[5]

Но самыми категоричными выглядят выводы известного ученого О.Нейгебауэра, считавшего, что «лишь в одном египетская традиция оказала благотворное влияние на внешний мир, а именно в использовании эллинистическими астрономами египетского календаря», который ученый назвал «единственным разумным календарем во всей человеческой истории». Затем он пишет, что «Нужно просто осознать, что математика и астрономия практически не влияли на обычную жизнь древних цивилизаций.

Даже в наиболее развитых экономических структурах древности потребность в математике не выходила за пределы домашней арифметики, которую ни один математик не назовет математикой… средств древней математики было недостаточно для каких бы то ни было практических приложений…Роль египетской математики, вероятно, лучше всего охарактеризовать, сказав, что она тормозила развитие техники вычислений».[6]

Затем он скептически продолжает: «Тот факт, что египетская математика не внесла сколько- нибудь заметного вклада в развитие математических знаний, не означает, что она не представляет интереса для историка. Наоборот, то обстоятельство, что египетская математика сохранилась на относительно примитивном уровне, дает возможность изучать такую стадию развития, которая, кроме египетских документов, нигде больше нам не доступна».[7]

 

 

3. Основы древнеегипетской науки.

Основой иероглифической системы исчисления, используемой в древнеегипетских вычислениях,  является цифра 10.  Эта система не является позиционной (то есть для обозначения единиц, десятков, сотен и т.д. использовались разные символы). Чтобы просчитать число, нужно было просуммировать значения иероглифов, входящих в его запись. Поэтому порядок записи не играл роли, можно было записывать как вертикально, так и горизонтально. Иератическая система также являлась десятичной, но специальные символы помогали избегать повторения, принятого в иероглифической системе.

Египетская арифметика была основана на использовании единичных дробей. Другими словами, из дробных чисел египтяне употребляли лишь аликвотные (т.е. дроби с числителем 1). Над знаменателем дроби ставился специальный знак в виде черточки. Дробь 2/3 занимала выделенное положение, поскольку обозначалась отдельным символом. В основе арифметики Древнего Египта лежали несколько правил:

1. Возможность умножать и делить целые числа на 2. Это позволяло умножать посредством последовательного сложения. По сути, все действия египетской математики, сводятся к сложению (или «аддитивность математики»).

2. Возможность находить 2 3 от любой дроби с числителем 1 по следующим правилам:

2/3 ∙ 1/n     =  1/ 2n+ 1/6n

В случае четного знаменателя выражение несколько упрощается:

2/3 ∙ 1/n     = 1 /(n+n/2)

«Дроби с числителем равным 1 назывались основными. Никаких других дробей, кроме этих, египтянин не мог написать.»[8] Поэтому, отказавшись от других дробей, египтяне вынуждены были разлагать дроби вида 2 /n на сумму дробей с числителем 1. Поскольку такие вычисления сложны и громоздки, писцы Египта обращались к ранее составленным таблицам. Какой бы сложной ни казалась эта система, она не требовала усилий памяти. Писцы легко справлялись даже со сложными вычислениями.

О.Нейгебауер так описывает «аддитивность» египетской математики: «Об обыкновенном сложении или вычитании  нет надобности говорить. Оно просто состоит из правильного группирования и подсчета единиц, десятков, сотен и последующих знаков, из которых состоят египетские обозначения чисел. Но умножение и деление также сводятся к этому процессу путем дробления любого умножения на последовательные удвоения и сложения. А каждое удвоение есть не что иное, как сложение числа с самим собой. Так, умножение на 16 производится путем четырех последовательных удвоений, из которых последнее и дает нужный результат».

«В общем умножение производится путем разложения одного множителя по степеням двух. Очевидно, в умах египтян никогда не возникало вопроса, всегда ли этот процесс применим. К счастью, всегда; и занятно видеть, как современные вычислительные машины снова используют этот «двоичный» принцип умножения. Деление, конечно, тоже можно свести к этому методу, потому что нужно только найти множитель, который в произведении с данным числом дает второе данное число».[9] Деление 18 на 3 будет просто означать удвоение 3 до тех пор, пока в итоге не получится 18:

 

1       3

/  2       6

/   4       12

Итого      18,    и ответ будет 2+4=6.

 

4.  Квадрат Пифагора и Пирамида Пифагора.

1   2   3

4   5   6

7   8   9

 

Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры, являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют и Эннеадой, а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали (147, 258, 369). Причем, записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.

Но в этой работе мы не будем подсчитывать суммы чисел вертикали, горизонтали, диагонали - на эту тему написано уже очень много. Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это будет напоминать египетскую систему счисления,  по сути, с разницей в том, что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того или иного действия в соседнем столбике - как у египтян). Другими словами - напишем ряд арифметической прогрессии.

Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.

 

1           2                3            4             5             6             7            8               9

2           4                6            8           10           12           14          16             18

3           6                9           12          15           18           21          24             27

4           8               12          16          20           24           28          32             36

5          10              15          20          25           30           35          40             45

6          12              18          24          30           36           42          48             54

7          14              21          28          35           42           49          56             63

8          16              24          32          40           48           56          64             72

9          18              27          36          45           54           63          72             81

10         20              30          40          50           60           70          80             90

 

Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.

Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).

правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр. Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором увеличиваются сверху вниз ; в нисходящем же –  наоборот: уменьшаются значения чисел сверху вниз.

Цифра 2:  в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в периоде»).

Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.

Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.

Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.

Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел, образующих тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147. Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда. Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369; нисходящий - от 369 до 147.

Цифра 7: восходящий ряд чисел  147,258,369 из «левого угла» или слева направо.  Впрочем, все зависит от того, как изображена сама девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.

Цифры 3 и 7 образуют Пирамиду Пифагора (назовем ее так, поскольку первая тройка цифр или число 147 непосредственно связана с пирамидой и означает высоту пирамиды Хеопса: 146.6 м). Таким образом, можно предположить, что и числа (содержащие цифры 3 и 7) будут «выстраивать» Пирамиду Пифагора. Сначала рассмотрим  некоторые числа,  которые составлены только из 3 или 7. Цифра 0 не «удваивается», но все комбинации чисел с ней рассматриваются, поскольку основой являются цифры с 1 до 10 (или от 0 до 9).

 

30             33             37             70             73             77            307            703              730

60             66             74           140           146           154            614          1406            1460

90             99           111           210           219           231            921          2109            2190

120           132          148            280          292           308          1228          2812            2920

150           165          185            350          365           385          1535          3515            3650

180           198          222            420          438           462          1842          4218            4380

210           231          259            490          511           539          2149          4921            5110

240           264          296            560          584           616          2456          5624            5840

270           297          333            630          657           693          2763          6327            6570

300           330          370            700          730           770          3070          7030            7300

330           363          407            770          803           847          3377          7733            8030

 

Видно, что все числа «выстраивают» Пирамиду, но у каждого уже появились особенности. Например, число 33: правый ряд строит Пирамиду, а левый - циклично повторяет 369. Некоторые числа, выстраивая в одном из столбцов Пирамиду, в другом лишь «приблизительно выстраивают» ее:  37, 73, 730. Число 307 выстраивает оба потока - и нисходящий, и восходящий, но только до «десятого удваивания». А число 703- особенное и оба потока чисел продолжаются постоянно.

Можно написать весь ряд чисел от 1 до 100, образующих эти ряды, их 17:

  1. 7  13  17  23  27  30  31  33  37  47  57  67  70  71  73  77.

Интересно, что число 33, символизирующее возраст Христа, делит ряд пополам. Число же 77- количество лет, прожитых пророком Заратуштрой, заканчивает ряд.

 

1.          3               7             13             17            23           27          31

2.          6             14             26             34            46           54          62

3.          9             21             39             51            69           81          93

4.        12             28             52             68            92         108        124

5.        15             35             65             85          115         135        155

6.        18             42             78           102          138         162        186

7.        21             49             91           119          161         189        217

8.        24             56           104           136          184         216        248

9.        27             63           117           153          207         243        279

10.       30             70           130           170          230         270        310

11.      33             77            143          187           253         297       341

 

Если рассматривать сами тройки чисел из Квадрата Пифагора получим:

 

147           258         369

294           516         738

441           774       1107

588         1032       1476

735         1290       1845

882         1548       2214

1029         1806       2583

1176         2064       2952

1323         2322       3321

1470         2580       3690

1617         2838       4059

1764         3096       4428

 

Число 147: образуется восходящий ряд

741, 852, 963 (так расположены цифры в Пирамиде Пифагора).

147, 258, 369 (так расположены цифры в Квадрате Пифагора) - подобно зеркальному отражению.

Число 258: не образует рядов.

Число 369:  в  3- ем столбике (если считать справа налево) справа образуется  восходящий ряд, но цифры  «перепутаны». Ряд образуется четко только до «десятого удваивания».

714, 825, 936 (расположение в Пирамиде Пифагора).

147, 258, 369 (расположение в Квадрате Пифагора).

Во 2-ом столбике (справа) также образуется восходящий ряд, но между обычными тройками квадрата Пифагора, вклинивается дополнительная тройка чисел (это 147, 258,369, увеличенные на единицу). Ряд таков: 147 258 (259) 369 147 (148) 258 369 и т.д. В первом столбике (справа)- обычный нисходящий ряд чисел с 9 до 0.

 

5. Великие пирамиды Гизы и числовая пирамида.

 

piramidas

Рисунок №1[10]

 

На рисунке №1 схематичное изображение египетских пирамид, расположенных на плато Гиза недалеко от Каира. Внизу - фактические размеры пирамид с остроконечной и «срезанной» вершинами. Вверху - размеры пирамид с остроконечной вершиной, если бы они удовлетворяли требованиям египетского треугольника с соотношением сторон 3: 4: 5 и углом 53º 08′, а отношение высоты пирамиды к длине стороны основания равнялось  как  2: 3.

Является ли совпадением то, что основные параметры пирамид (особенно пирамиды Хеопса), такие как высота, ширина основания и угол наклона – так же подчиняются математическому правилу построения Пирамиды Пифагора?

 

233          147         137         53          67         66          143

466          294         274       106        134       132          286

699          441         411       159        201       198          429

932          588         548       212        268       264          572

1165          735         685       265        335       330          715

1398          882         822       318        402       396          858

1631        1029         959       371        469       462        1001

1864        1176       1096       424        536       528        1144

2097        1323       1233       477        603       594        1287

 

Основание пирамиды Хеопса (233 м):  правый столбец - нисходящий ряд чисел,

образующих тройки чисел 369, 258, 147. В среднем столбце - циклическое повторение числа 369.

Фактическая высота пирамиды Хеопса (146.6 м) и со «срезанной» вершиной - 137.3 м: восходящие ряды чисел 741, 852, 963, что соответствует зеркальному отражению троек квадрата Пифагора.

Угол наклона пирамид Хеопса и Хефрена (53º): нисходящий ряд чисел 369,258,147.

Высота пирамиды Хефрена (143 м): нисходящий ряд чисел 369,258,147.

«Во многих культурах число есть фундаментальный принцип, лежащий в         основе мира вещей. Оно- начало всех вещей и той гармонии пространства, стоящей за их внешней связью. Число- это основной принцип соразмерности вселенной в пластическом искусстве, ритмике, музыке и поэзии. В герметической философии мир чисел отождествлялся с миром причин. Числа не просто количественны, они имеют качественную символику». Пифагор отмечал, что «все расположено в соответствии с числами».[11] Для  Платона числа - это гармония  вселенной. Для Аристотеля число было «началом и сущностью вещей, их взаимодействием и состоянием». «Числа очень тесно связаны со Временем, являются мерой времени и средством его осуществления».[12]

«Манипулируя цифрами, древние мыслители не только научились понимать суть вещей, но могли и воздействовать на них».[13] Но со временем прикладная часть знаний была утеряна. Несмотря на современные фантастические успехи в области математики и ее прикладных областей, тайный смысл цифр и чисел невиден, закрыт сложными формулами и схемами. Остается надеяться, что эта путеводная нить, открывающая врата Вечности, будет найдена, а отношение людей к древним знаниям будет более уважительным.

 

Примечания

 


[1] Перельман Я.И. Занимательная математика.- СПб., Молодая гвардия, 1934. стр.40-41.

[2] Перельман Я.И. Занимательная математика.- СПб., Молодая гвардия,1934. стр.41.

[3]Перельман Я.И. Занимательная математика.- СПб., Молодая гвардия,1934. стр.42.

[4] Ван дер Варден  Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. -М.,КомКнига,2006. стр.19-20.

[5] Даан-Дальмедико А. Пейффер Ж.Пути и лабиринты.-М:Мир,1986. стр.121.

[6] Нейгебауэр О.Точные науки в древности. -М., Едиториал УРСС,2003. стр.84-85.

[7] Нейгебауэр О.Точные науки в древности. М., Единториал УРСС,2003. стр.84.

[8] Ван дер Варден Б.Л.Пробуждающаяся наука .Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. –М.,КомКнига,2006. стр.25.

[9] Нейгебауер О.Точные науки в древности.М., Едиториал УРСС,2003. стр.84-85.

[10] Бабанин В.Тайны великих пирамид .-СПб.,Лань,2000.стр.76.

[11] Купер Дж.Энциклопедия символов.- М., Золотой век,1995. стр.370.

[12] Амрита.Тайны числовой матрицы.- М., Велигор,2004.стр.8.

[13] Диксон О.Учение о числе и букве.- М.,Велигор,2006. стр.26.